Возвратные уравнения

Пусть задано уравнение 4^ой степени.

\(a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0, \) где \(a_0 \neq 0.\)

Если коэффициенты  уравнения связаны соотношением \(a_1 = \lambda^2a_4 (\lambda \neq 0)\) или \(({a_1 \over a_3})^2 = {a_0 \over a_4}, \) то уравнение называется возвратным и после деления на \(x^2 \neq 0 \) и замены \(x +{\lambda \over x} = t \) сводится к квадратному.

Частным случаем возвратных уравнений является симметрическое (λ = 1) и кососимметрическое (λ = -1) уравнения.

Одним из способов решения уравнений степени больше двух является приведение его к виду f(x) = 0 и разложение многочлена, стоящего в первой части, на множители, что позволяет свести решение исходного уравнения к решению совокупности нескольких уравнений меньших степеней.

Данный способ основан на следующем свойстве корней многочлена n – ой степени. Если число с является корнем многочлена F(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1+ … +  a₁ x + a₀, то этот многочлен можно записать в виде F(x) = (x – c) G(x), где G(x) – многочлен степени n-1. Другими словами, многочлен F(x) делится на многочлен x–c.

В общем случае для многочлена n^ой степени не существует универсального способа нахождения корней. Однако для многочлена с целыми коэффициентами существует теорема, облегчающая нахождение корней таких многочленов: рациональными корнями многочлена a_nxⁿ + a_n-1x^n-1+ … +  a₁ x + a₀, где \(a_i \in Z (i=0, ... n)\) могут быть лишь числа \({m \over p} (m \in Z, p \in N), \) причем m является делителем числа a_n.

Решить уравнение:

\(x^7 + 2x^6 -5x^5 -13x^4 -13x^3 -5x^2 + 1 = 0.\)

Данное уравнение является симметрическим нечетной степени. Суммы коэффициентов при четных и нечетных степенях x такого уравнения равны, а значит один из корней x = -1.

Выделим в левой части сомножитель x+1:

\(x^7 + x + x^6 + x^5 - 6x^5 -6x^4 - 7x^3 - 6x^3 -6x^2 + x^2 + x + x + 1 = \\ (x+1) \cdot (x^6 + x^5 -6x^4 -7x^3 -6x^2 + x + 1).\)

\( (x^6 + x^5 -6x^4 -7x^3 -6x^2 + x + 1) = 0\) — 

симметрическое уравнение четной степени.

Делим на \(x^3 \neq 0.\)

\((x^3 + {1 \over x^3}) + (x^2+ {1 \over x^2}) - 6(x + {1 \over x}) - 7 = 0 \\ x^2 + {1 \over x^2} = (x + {1 \over x})^2 - 2 = t^2 - 2, \\ x^3 + {1 \over x^3} = (x + {1 \over x})(x^2 + {1 \over x^2} - 1) = t(t^2 - 3) = t^3 - 3t,\)

получим

\(t^3 + t^2 -9t -9 = 0 \Leftrightarrow \\ (t + 1)(t^2 - 9) = 0 \Leftrightarrow \\ (t+1)(t-3)(t+3) = 0 \Leftrightarrow \\\)

\(\left[ \begin{gathered} x + {1 \over x} = -1 \\ x + {1 \over x} = -3 \\ x + {1 \over x} = 3 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x^2 + x + 1 = 0 \\ x^2 -3x + 1 = 0\\ x^2 +3x + 1 = 0 \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \varnothing\ \\ x = {3 \pm\sqrt{5} \over 2} \\ x = {-3 \pm\sqrt{5} \over 2} \\ \end{gathered} \right.\)

Ответ: \(-1, {\pm 3 \pm\sqrt{5} \over 2} \\ \)