Выделение полного квадрата

Данный прием основан на использовании свойств квадрата действительного числа:

\(a^2 \ge 0\) и \( \sqrt{a^2} = |a|\), и также формул сокращенного умножения

\((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\) и \((a - b)(a + b)= a^2 + b^2\).

а) Решить уравнение: \(x^2 - 10x + 25 + y^2 = 0\)

Представляем левую часть уравнения как сумму 2-х полных квадратов и воспользуемся ограниченностью каждого из них, перейдем от уравнения к системе:

\(x^2 - 10x + 25 + y^2 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x - 5 = 0 \\ y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 5 \\ y = 0 \end{cases}\)

Ответ: (5;0)

б) \(x^2 + {4x^2 \over (x + 2) ^2} = 5.\)

Область определения: \(x \neq -2.\)

\((x^2- 2x{2x \over x + 2 } + {4x^2 \over (x + 2)^2 }) + {4x^2 \over x + 2 } - 5 = 0;\)

\((x - {2x \over (x + 2) })^2 + {4x^2 \over x + 2 } - 5 = 0;\)

\(({x^2 \over x + 2 })^2 + 4{x^2 \over x + 2 } - 5 = 0;\)

\(t = {x^2 \over {x + 2}}\)

\(t^2 + 4t - 5 = 0\)

\(t_1 = -5; t_2 = 1.\)

\(\left[ \begin{gathered} \frac{x^2}{x + 2} = -5, \\ \frac{x^2}{x + 2} = 1 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x^2 + 5x + 10 = 0, \\ x^2 -x - 2 = 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \varnothing\\ \left[ \begin{gathered} x = -1, \\ x = 2 \\ \end{gathered} \right. \end{gathered} \right.\)

Ответ:   -1, 2.