Замена переменных

Этот метод является одним из основных методов решения уравнений. Как правило, уравнение с помощью введения новых неизвестных сводится к более простым уравнениям, системам уравнений, системам уравнений и неравенств.

а) \((x - 2)(x - 3)(x - 3)(x - 12) = 4x^2\)

Заметим, что \(2\cdot12 = 3\cdot8 = 24\)

\((x^2 - 14x + 24)(x^2 - 11x + 24) = 4x^2.\) Поделим на \(x^2 \neq 0.\) \(x = 0\) не является корнем уравнения.

\(\frac {x^2 - 14x + 24} {x} \cdot \frac {x^2 - 11x + 24} {x} - 4 = 0;\)

\((x + {24 \over x} - 14)(x + {24 \over x} - 11) - 4 = 0;\)

Заменим \(x + {24 \over x} = t;\)

\((t - 14)(t - 11) - 4 = 0 \\ t^2 - 25t + 150 = 0; \\ t_1 = 10, t_2 = 15.\)

\(\left[ \begin{gathered} x + \frac{24}{x} = 10, \\ x + \frac{24}{x} = 15 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x^2 - 10x + 24 = 0,\\ x^2 -15x + 24 = 0 \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 4, \\ x = 6,\\ x = \frac{15\pm \sqrt{129} }{2} \\ \end{gathered} \right.\)

Ответ: \(4; 6; \frac{15\pm \sqrt{129} }{2}\)

б) \({4x \over x^2 + x + 3} + {5x \over x^2 - 5x + 3} = -1,5\)

Делим на \(x \neq 0, x = 0\) не является корнем уравнения. Получим

\({4 \over x + 1 + {3\over x } } + {5 \over x - 5 + {3\over x } } = 1,5;\)

Заменим \(x + {3 \over x} = t, \) получим уравнение относительно \(t\):

\({4 \over t + 1} + {5 \over t + 5} = -1,5; \\ 4(t - 5) + 5(t + 1) = -1,5(t + 1)(t - 5), t\neq -1, t\neq 5; \\ t^2 + 2t - 15 = 0; \\ \left[ \begin{gathered} t = -5 \\ t = 31 \\ \end{gathered} \right. . \\ \left[ \begin{gathered} x + \frac{3}{x} = -5, \\ x + \frac{3}{x} = 3 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x^2 + 5x + 3 = 0, \\ x^2 -3x - 3 = 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{-5 + \sqrt{13}} {2} \\ \varnothing\\ \end{gathered} \right.\)

Ответ: \(\frac{-5 + \sqrt{13}} {2} \).

в) \(\sqrt{x^2 + 12\sqrt{3}x + 144} + \sqrt{x^2 + 5x + 25} = 13.\)

Левая часть уравнения определена при всех  значениях \(x\). Обозначим

\(A = x^2 + 12 \sqrt{3}x, B = x^2 + 5x\) и перепишем уравнение в виде \(\sqrt{A + 144} + \sqrt{B + 25} = 13.\)

Возведём в квадрат, и получим \(A + B + 2\sqrt{A + 144}\sqrt{B + 25} = 0; 2\sqrt{A + 144}\sqrt{B + 25} = -A-B.\)

Это уравнение равносильно системе:

\(\begin{cases} -A - B \geq 0, \\ 4(A + 144)(B + 25) = A^2 + 2AB + B^2. \end{cases}\)

Рассмотрим второе уравнение системы:

\(A^2+ 2AB + B^2 = 4(AB + 25A + 144B + 25 \cdot 144), \) после преобразований получим:

\((A - B)^2 = 4(25A + 144B) + 4 \cdot 25 \cdot 144.\) Возвращаясь к переменной \(x\), получаем уравнение:

\((x^2 + 12 \sqrt{3}x - x^2 - 5x)^2 = 4(25(x^2 + 12\sqrt{3}x) + 144(x^2 + 5x)) + (2 \cdot 5 \cdot 12)^2. \\ (12 \sqrt{3}x - 5)^2x^2 = 4(169x^2 + 25 \cdot 12\sqrt{3}x + 144 \cdot 5x) + 120^2. \\ x^2(432 - 120 \sqrt{3} + 25 -676) - 240x(5 \sqrt{3} + 12) - 120^2 = 0, \\ x^2(219 + 120 \sqrt{3}) + 240x(5 \sqrt{3} + 12) + 120^2 = 0, \\ 3(73 + 40\sqrt{3})x^2 + 2 \cdot 120 x(5\sqrt{3} + 12) + 120^2 = 0, \\ (\sqrt{3}(5 + 4\sqrt{3})x)^2 + 2 \cdot 120 x(5 + 4\sqrt{3})\sqrt{3} + 120^2 = 0, \)

\((\sqrt{3}(5 + 4\sqrt{3})x + 120)^2 = 0, \) откуда \(x = - {120 \over \sqrt{3} \cdot 5 + 12 }, x = - {120(12 - 5\sqrt{3}) \over 69}.\)

Проверим выполнение условия \(A + B \leq 0.\)

\(A + B = 2x^2 + (12 \sqrt{3} + 5)x = x(2x + 12 + 5), x < 0,\) рассмотрим

\(2x + 12 \sqrt{3} + 5 = - {240 \over 5 \sqrt{3} + 12} + 12 \sqrt{3 + 5} = {80 \cdot 17 \sqrt{3} - 80 \cdot 7 \over 21} > 0.\) Итак, \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}A + B \leq 0.\)

Ответ: \(- {240(12 - 5 \sqrt{3}) \over69} .\)