Однородные уравнения

Уравнения вида \(a_0p^n(x) + a_1p^{n-1}(x)q(x) + \dots + a_{n-1}p(x)q^{n-1}(x) + a_nq^n = 0, \) где \(n > 1, n \in N, a_0 \neq 0, p(x) \) и \(q(x)\) — некоторые функции, называется однородным степени n.

Если \(q(x) = 0,\) то из уравнения следует, что и \(p(x) = 0.\) Если \(q(x) \neq 0, \) то разделив обе части исходного уравнения на \(q^n(x)\) и обозначив \( {p(x) \over q(x)}\) через y, получим уравнение относительно y:

\(a_0y^n + a_1y^{n-1} + \dots + a_{n-1}y + a_n = 0.\) Таким образом, уравнение равносильно совокупности двух систем:

\(\left[ \begin{gathered} \begin{cases} q(x) = 0, \\ p(x) = 0, \end{cases} \\ \begin{cases} q(x) \neq 0, \\ {p(x) \over q(x)} = y, \\ a_0y^n + a_1y^{n-1} + \dots + a_{n-1}y + a_0 = 0. \end{cases} \end{gathered} \right.\)

Решить уравнение:

a) \((x^2 - 3x + 2)^4 - 5(x^2 - 1)^2(x^2 - 3x + 2)^2 + 4(x^2 - 1)^4 = 0.\)

Уравнение является однородным уравнением четвертой степени относительно двух многочленов \(p(x) = x^2 - 3x + 2\) и \(q(x) = x^2 - 1.\) Проверим, есть ли среди корней уравнения \(x^2 - 1 = 0\) корни уравнения \(x^2 - 3x + 2 = 0, \) а следовательно и корни исходного уравнения.

Решим систему: \(\begin{cases} x^2 - 1 = 0 \\ x^2 - 3x + 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \pm 1 \\ \left[ \begin{gathered} x = 1, \\ x = 2 \\ \end{gathered} \right. \end{cases} \Leftrightarrow x = 1\)

Если \(x^2 - 1 \neq 0, \) то разделив левую и правую части уравнения на \((x^2 - 1)^4\) получаем:

\(({x^2 -3x + 2 \over x^2 - 1}) ^4 - 5({x^2 - 3x + 2 \over x^2 - 1}) + 4 = 0\)

Обозначим \({x^2 - 3x + 2 \over x^2 - 1} = t.\)

Получим систему \(\begin{cases} x^2 - 1 \neq 0 \\ {x^2 - 3x + 2 \over x^2 - 1} = t \\ 2t^4 - 5t^2 + 4 = 0 \end{cases} \)\(\quad t^4 - 5t^2 + 4 = 0 \\ \quad D = 9, t^2 =1, t^2 = 4,\)

\(\begin{cases} x^2 - 1 \neq 0 \\ \left[ \begin{gathered} {x^2 -3x+ 2 \over x^2 - 1} = \pm 1 \\ {x^2 -3x+ 2 \over x^2 - 1} = \pm 2 \\ \end{gathered} \right. \end{cases}\)

Уравнение \( {x^2 -3x+ 2 \over x^2 - 1} = 1 \) не имеет решений (\(x = 0\) посторонний корень). Уравнение \( {x^2 -3x+ 2 \over x^2 - 1} = -1\) имеет корень \( {1 \over 2}\)( 1 — посторонний). Уравнение \( {x^2 -3x+ 2 \over x^2 - 1} = 2 \) имеет корень -4, и уравнение \( {x^2 -3x+ 2 \over x^2 - 1} = -2\) имеет корень 0.

Ответ: -4;0; \({1\over 2}\) ;1.

б) \((x + 5)^4 - 13x^2(x+5)^2 + 36x^4 = 0\)

Выполним замену \((x + 5)^2 = t, x^2 = w, \) имеем

\(t^2 -13tw + 36w^2,\) т.е. исходное уравнение, являющееся однородным относительно \((x + 5)^2\) и \(x^2\). Выполним деление на \(w^2 = x^4 \neq 0\). Получим квадратное уравнение:

\({t \over w} = ({x + 5 \over x})^{22}\)

\({(x+5)^4 \over x^4} - 13{(x+5)^2 \over x^2} + 36 = 0;\)

\(({(x+5)^2 \over x^2})^2 - 13{(x+5)^2 \over x^2} + 36 = 0;\)

\(\left[ \begin{gathered} ({x + 5 \over x})^2 = 4 \\ ({x + 5 \over x})^2 = 9 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x^2 + 10x + 25 = 4x^2 \\ x^2 + 10x + 25 = 9x^2 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 3x^2 - 10x - 25 = 0 \\ 8x^2 - 10x - 25 = 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = {5 \pm 10 \over 3} \\ x = {5 \pm 15 \over 8} \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - {5 \over 3} \\ x = 5 \\ x = - {5 \over 4} \\ x = {5 \over 2} \\ \end{gathered} \right.\)

Ответ: \( - {5 \over 3} , 5, - {5 \over 4} , {5 \over 2} .\)

в) \(5(x^2 + 2x)^2 - 11(x^2 + 2x)(x^2 + x + 1) + 6(x^2 + x + 1)^2 = 0. \)

Поделим

\(5({x^2 + 2x \over x^2 + x + 1})^2 - 11({x^2 + 2x \over x^2 + x + 1})^2 + 6 = 0;\)

\(x^2 + x + 1 \neq 0\) при всех x.

Обозначим \(t = {x^2 + 2x \over x^2 + x + 1},\) имеем

\(5t^2 - 11t + 6 = 0 \\ t_1 = 1, t_2 = {6 \over 5}\)

Решим уравнение

\({x^2 + 2x \over x^2 + x + 1} = 1\) и \({x^2 + 2x \over x^2 + x + 1} = {6 \over 5}\)

Ответ: 1.