Введение

Все существующие науки условно делят на три группы: естественные, гуманитарные и математические. Естественными называют науки, изучающие окружающий нас мир. К ним относятся: физика, химия, астрономия, биология и т.п. Гуманитарными называют науки, изучающие человеческое общество. К ним относятся: история, литература, философия, социология и т.п.

Математическую группу наук составляет всего одна наука – математика. В отличие от естественных и гуманитарных наук математика не изучает объективно существующую реальность, и в этом состоит ее специфика.

К сожалению, на сегодняшний день нет удовлетворительного ответа на вопрос «Что такое математика?». Это столь многогранное явление, что описать его кратко, выделив главное, пока не удалось. Обычно для начинающих изучать математику представление о ней пытаются дать через предмет с учетом целей изучения. Например, в философской литературе часто ссылаются на Ф.Энгельса, который в работе «Анти-Дюринг» писал, что «чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира». Это, конечно, правильно. В математике много задач порождено человеческой практикой, но считать приведенную цитату определением предмета математики нельзя хотя бы потому, что это неполно. Наряду с практическими задачами в математике существует много теорий, являющихся «вымыслом чистого разума». Достаточно привести в качестве примера геометрию Н.И.Лобачевского, которая родилась просто как другая логическая система.

Другой взгляд на предмет математики выражен в работе Н.Бурбаки «Архитектура математики». Авторы считают, что содержание математики как науки составляет изучение всевозможных математических структур, понимая под математической структурой множество произвольных объектов с заданной системой отношений между ними. Это также верно, но опять же неполно. В математике изучаются не только структуры, но и другие объекты, например, методы исследования.

Общепризнано, что математика как наука зародилась в древней Греции с появлением в ней абстрактных структур. До этого математика представляла собой просто совокупность математических фактов. Лишь греки сумели так организовать эти факты, что математика превратилась в логическую систему, в которой от исходных положений с помощью логических рассуждений, называемых доказательством, получали новые утверждения. Именно с появлением этой идеи и связывают зарождение математики как науки.

Одной из главных задач настоящего пособия является знакомство учащихся с новым для них взглядом на математику как на логическую систему посредством изучения основ математического анализа.

В истории развития математики обычно выделяют два основных периода: период элементарной математики (период изучения постоянных величин) и период современной (высшей) математики (период изучения переменных величин).

Активное изучение переменных величин началось с конца XVII века и привело к созданию И.Ньютоном и Г.Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления, составляющих основу обширного раздела современной математики, называемого математическим анализом. Как правило, переменные величины описывались с помощью функций. Поэтому важнейшими понятиями математического анализа являются понятия функции, предела функции, производной, интеграла и некоторых других.