Решение задания №1 из ЕГЭ по информатике

  1. Двоичное кодирование, системы счисления

Основные определения

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Алфавит системы счисления — это используемый в ней набор цифр.

Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).

Разряд — это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.

Любое целое число A, записанное в системе счисления с основанием p, можно представить в расширенной форме:

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Перевод целых чисел в десятичную систему счисления из других систем счисления.

Для перевода целого числа, записанного в системе счисления с основанием p, в десятичную, нужно пронумеровать цифры его целой части справа налево, начиная с 0, затем найти произведение каждой цифры числа на степень основания, где показателем степени является номер цифры, и сложить полученные значения (то есть, нужно представить число в расширенной форме и вычислить).

Перевод целых десятичных чисел в другие системы счисления.

Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием p, нужно последовательно делить число и получающиеся частные на p, запоминая остатки, до тех пор, пока последнее частное не будет равно 0. После этого выписать полученные остатки в обратном порядке.

Также, для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием p можно разложить это число на слагаемые, содержащие максимальную степень числа p и выписать коэффициенты (множители) при этих степенях. Вместо отсутствующей степени нужно записать 0.

Легко заметить, что множители при степенях p не что иное, как остатки от последовательного деления десятичного числа на p.

Кратные системы счисления

Для перевода восьмеричного числа в двоичную систему счисления достаточно заменить каждую цифру восьмеричного числа соответствующим трехразрядным двоичным числом.

Для перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления нужно разбить число на триады, начиная справа. Каждую триаду записать в виде одной восьмеричной цифры.

00000
11001
22010
33011
44100
55101
66110
77111

Перевод числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную выполняется аналогично. Только в этом случае каждая цифра шестнадцатеричного числа заменяется соответствующим четырехразрядным двоичным числом.

Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления нужно разбить число на тетрады, начиная справа. Каждую тетраду записать в виде одной шестнадцатеричной цифры.

000000
110001
220010
330011
440100
550101
660110
770111
881000
991001
10A1010
11B1011
12C1100
13D1101
14E1110
15F1111

Задачи

  1. Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 48?
    Решение:
    Переведём число 48 в двоичную систему счисления. Это можно сделать следующим образом:

    После того как последовательно было выполнено деление сначала самого числа, а затем получающихся частных на 2, следует выписать полученные остатки в обратном порядке. Таким образом, получаем:
    48 = 1100002
    Также, можно представить число 48 как сумму степеней двоек. Если какая-то степень двойки в сумме отсутствует, значит при ней пишем коэффициент 0.
    48 = 32 + 16 = 1·25 + 1·24+ 0·23 + 0·22 + 0·21 + 0·20 = 1100002
    Итак, в двоичной записи числа 48 содержится две единицы.
    Ответ: 2.
  2. Сколько нулей в двоичной записи десятичного числа 1021?
    [Я. Н. Зайдельман, М. А. Ройтберг, Информатика и ИКТ. Подготовка к ЕГЭ в 2019 году. Диагностические работы. ФГОС.— М.: МЦНМО, 2019.
    , стр 42, №1]
    Решение:
    а) Запишем число 1021 как сумму степеней двоек.
    1021 = 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1 = 1·29+ 1·28 + 1·27 + 1·26 + 1·25 + 1·24 + 1·23 + 1·22 +0·21 + 1·20 = 1111111101 2
    б) Также можно заметить, что 1021 = 1024 – 3.
    1021 = 1024 – 3 = 1·210 – 3 = 100000000002 – 112 = 11111111012
    Выполним вычитание в двоичной системе счисления:
    100000000002
    - 112
    11111111012
    В записи числа присутствует одна цифра 0.
    Ответ: 1
  3. Сколько единиц в двоичной записи числа 77716? [Я. Н. Зайдельман, М. А. Ройтберг, Информатика и ИКТ. Подготовка к ЕГЭ в 2019 году. Диагностические работы. ФГОС.— М.: МЦНМО, 2019., стр 6, №1]
    Решение:
    а) Для того, чтобы определить количество единиц в двоичной записи числа 77716 можно сначала это число перевести в десятичную систему счисления, а затем из десятичной в двоичную.
    77716 → X10 → X2
    77716 = 7∙162 + 7∙161 + 7∙160 = 1792 + 112 + 7 = 1911
    1911 = 111011101112
    б) Лучше всего воспользоваться тем, что шестнадцатеричная и двоичная системы счисления являются кратными.
    77716 = 0111 0111 01112 = 111011101112
    7 = 1112
    Ответ: 9
  4. Вычислите значение выражения 6578 – 1AC16. В ответе запишите результат в десятичной системе счисления. [Тренировочная работа СтатГрад ИН1910401, №4 по информатике от 04.03.2020]
    Решение:
    Переведем уменьшаемое и вычитаемое в двоичную систему счисления.
    6 = 1102, 5 = 1012, 7 = 1112 .
    6578 = 110 101 1112
    A16 = 10 = 10102, C16 = 12 = 11002.
    Выполним вычитание в двоичной системе счисления:

    Переведем полученный результат в десятичную систему счисления:
    112 = 1∙21 + 1∙20 = 3
    Ответ: 3
  5. Выберите наибольшее из чисел: AA16, 2518, 100111012. В ответе запишите выбранное число в десятичной системе счисления. [Я. Н. Зайдельман, М. А. Ройтберг, Информатика и ИКТ. Подготовка к ЕГЭ в 2019 году. Диагностические работы. ФГОС.— М.: МЦНМО, 2019., стр 77, №1]
    Решение:
    Шестнадцатеричная и двоичная, восьмеричная и двоичная системы счисления являются кратными.
    AA16 = 1010 10102 , A16 = 10 =10102
    2518 = 10 101 0012 , 2 = 102 , 5 = 1012 , 1 = 12
    Выполним поразрядное сравнение.
    101010102
    101010012
    100111012
    Переведем найденное число в десятичную систему счисления:
    AA16 =10 ∙ 161 +0 ∙ 160 = 170
    Ответ: 170
  6. Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе: 10001011, 10111000, 10011011, 10110100. Сколько среди них чисел, больших, чем А416 +208? [Материалы ЕГЭ №1 К.Ю.Полякова, №47]
    Решение:
    Переведем оба слагаемых в двоичную систему счисления:
    A416 = 1010 01002
    208 = 10 0002
    Выполним сложение в двоичной системе счисления:
    101001002
    +
    100002
    101101002
    100010112, 101110002, 100110112, 101101002
    Ответ: 2
  7. Укажите наименьшее четырёхзначное восьмеричное число, двоичная запись которого содержит 6 единиц. В ответе запишите только само восьмеричное число, основание системы счисления указывать не нужно. [Материалы ЕГЭ №1 К.Ю.Полякова, №56]
    Решение:
    Каждый разряд восьмеричного числа соответствует трем разрядам в двоичной системе счисления. Так как число четырехзначное, то в нем от 10 до 12 двоичных разрядов. Так как число должно получиться наименьшим, то последние пять разрядов и десятый разряд заполняем единицами, на остальных местах записываем нули.

    X8 = 10378
    Ответ: 1037
  8. Укажите наибольшее четырёхзначное шестнадцатеричное число, двоичная запись которого содержит ровно 9 значащих нулей. В ответе запишите только само шестнадцатеричное число, основание системы счисления указывать не нужно. [Материалы ЕГЭ №1 К.Ю.Полякова, №67]
    Решение:
    Каждый разряд шестнадцатеричного числа соответствует четырем разрядам в двоичной системе счисления. Так как число четырехзначное, то в нем от 13 до 16 двоичных разрядов. Так как число должно получиться наибольшим, то на первых семи разрядах размещаем единицы, на остальных местах записываем нули.

    X16 = FE0016
    Ответ: FE00
  9. Определите количество натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству: AA16 ≤ x < 4118. [Материалы ЕГЭ №1 К.Ю.Полякова, №99]
    Решение:
    Переведем числа AA16и 4118 в десятичную систему счисления.
    АА16 = 10·161 + 10·160 = 170
    4118 = 4·82 + 1·81 +1·80 = 4·64 + 9 = 265
    Количество чисел = 265 – 170 = 95
    Ответ: 95
  10. Определите количество натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству: AB16 < x < 3448. [Материалы ЕГЭ №1 К.Ю.Полякова, №101]
    Решение:
    Переведем числа AВ16и 3448 в десятичную систему счисления.
    АB16 = 10·161 + 11·160 = 171
    3448 = 3·82 + 4·81 +4 ·80 = 3·64 + 32+4 = 228
    Количество чисел = 228 – 171 - 1 = 56
    Ответ: 56
  11. Определите количество натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству: ( 6416 - 1E16 ) ≤ x ≤ ( 508 + 368 ). [Материалы ЕГЭ №1 К.Ю.Полякова, №98]

Решение:

Выполним арифметические действия.

Заметим, что E16 = 14.

Переведем результаты вычислений в десятичную систему счисления.

4616 =4∙16 + 6 = 70

1068 =1∙82 + 6 = 70

Количество чисел = 1

Ответ: 1

Информационные источники

  1. «ФИПИ. Открытый банк тестовых заданий», http://os.fipi.ru/tasks/5/a
  2. Материалы для подготовки к ЕГЭ по информатике К.Ю. Полякова, http://kpolyakov.spb.ru/school/ege.htm
  3. Образовательный портал «Решу ЕГЭ», https://ege.sdamgia.ru/
  4. Я.Н.Зайдельман , ЕГЭ 2020. Информатика и ИКТ. Подготовка к ЕГЭ в 2020 году. Диагностические работы. ФГОС. — М.: МЦНМО, 2019.
  5. Я. Н. Зайдельман, М. А. Ройтберг, Информатика и ИКТ. Подготовка к ЕГЭ в 2019 году. Диагностические работы. ФГОС.— М.: МЦНМО, 2019.